p² + 7 est-il divisible par 8 ? - Corrigé

Énoncé

Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$ .

1. Déterminer les restes possibles dans la division de $p$  par $8$ .

2. Démontrer que $p^2+7$ est divisible par $8$ .

Solution

1. La division euclidienne de $p$ par $8$ s'écrit $p=8q+r$ avec $q\in \mathbb{Z}$ et $0⩽r<8$ .
De plus, si  $r$  est pair, alors on peut écrire  $r=2r^{\prime }$  avec  $r^{\prime }\in \{0;1;2;3\}$ , et on alors  $p=8q+r=8q+2r^{\prime }=2(4q+r^{\prime })$ , donc  $p$  est pair, ce qui est impossible car $p$ est premier supérieur ou égal à $3$ .
On en déduit que les restes possibles dans la division euclidienne de $p$ par $8$ sont $1$ , $3$ , $5$ et $7$ .

2. On fait un tableau de congruences modulo $8$ .

$\begin{array}{r}\begin{array}{|lcccc|}\hline p\equiv ...[8]& 1& 3& 5& 7\\ p^2\equiv ...[8]& 1& 9\equiv 1& 25\equiv 1& 49\equiv 1\\ p^2+7\equiv ...[8]& 7\equiv 0& 7\equiv 0& 7\equiv 0& 7\equiv 0\\ \hline\end{array}\end{array}$  

donc $p^2+7$ est divisible par $8$ .